矩阵分析-1.线性空间
线性空间
加法与数乘
加法的定义
给定非空集合V和数域\(\mathbb{F}\)，若存在映射：
\[\sigma: V \times V \rightarrow
V\]
\[(\alpha,\beta) \mapsto \sigma(\alpha,\beta)\]
即对V中任意元素\(\alpha\)，\(\beta\)，在集合V中都存在唯一元素\(\gamma\),使得\(\gamma=\alpha+\beta \in V\)，则称映射\(\sigma\)为集合V上的加法。
数乘的定义
给定非空集合V和数域\(\mathbb{F}\)，若存在映射： \[\sigma: V \times \mathbb{F} \rightarrow
V\]
\[(\alpha,k) \mapsto \sigma(\alpha,k)\]
即对集合V中的任意元素\(\alpha\)和数域\(\mathbb{F}\)中任意元素k，在集合V中都存在唯一元素\(\gamma\)，使得\(\gamma=\alpha k \in V\)，则称映射\(\sigma\)为集合V上的数乘。
注1：关于映射的符号
设映射\(\sigma\)为正弦函数\(sin(*)\)
“\(\rightarrow\)”表示将集合映射到集合。例如 \(\sigma: R \rightarrow [-1,1]\)，表示将实数集R映射到集合[-1,1]。
“\(\mapsto\)”表示将元素映射到元素。例如 \(\sigma: \pi \mapsto 0\)，表示将元素\(\pi\)映射到元素0。注2：集合的笛卡尔积
集合\(S_1\)和\(S_2\)的笛卡尔积的数学表示为： \[S_1 \times S_1 = \{\begin{bmatrix}s_1\\s_2 \\\end{bmatrix} \mid s_1 \in S_1,s_1 \in S_2\}\]注3：域的定义及常用的域
域的定义：包含加法与乘法的，满足通常运算规则的代数结构称为域。
常用的域：\(\mathbb{Q}\)(有理数域)、\(\mathbb{R}\)(实数域)、\(\mathbb{C}\)(复数域)等。
通常的运算规则
- 加法交换律
已知非空集合V，对 \(\forall v_1,v_2 \in V\)，有 \(v_1+v_2=v_2+v_1\)。
- 加法结合律
已知非空集合V，对 \(\forall v_1,v_2,v_3 \in V\)，有 \((v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3)\)。
- 加法零元素
已知非空集合V，对 \(\forall v \in V, \exists e \in V\)，使得 \(e+v=v\)。
- 加法逆元素
已知非空集合V，对 \(\forall v \in V, \exists a \in V\)，使得 \(v+a=e\)，记 \(a=-v\)。
- 数乘分配律
已知非空集合V和数域\(\mathbb{F}\)，对 \(\forall v_1,v_2 \in V, k \in \mathbb{F}\)，有 \((v_1+v_2)k=v_1k+v_2k\)。
已知非空集合V和数域\(\mathbb{F}\)，对 \(\forall v \in V;k_1,k_2 \in \mathbb{F}\)，有 \(v(k_1+k_2)=vk_1+vk_2\)。
- 数乘结合律
已知非空集合V和数域\(\mathbb{F}\)，对 \(\forall v \in V;k,l \in \mathbb{F}\)，有 \((vk)l=v(kl)\)。
- 数乘单位元素
已知非空集合V和数域\(\mathbb{F}\)，对 \(\forall v \in V,\exists 1 \in \mathbb{F}\)，使得 \(v1=v\)。
线性空间的定义
若集合V满足加法与数乘两种运算，且这两种运算满足通常的运算规则，则称集合V关于此加法和数乘是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间。一般也把这种线性空间称为向量空间，集合V中的元素称为向量。
线性空间的具体实例
例1：数域\(\mathbb{F}\)上的标准线性空间\(\mathbb{F}^n\)
已知数域\(\mathbb{F}\),设
\[V := \mathbb{F}^n=\mathbb{F} \times
\mathbb{F} \times \dots \times \mathbb{F}=\{\begin{bmatrix}
v_1\\
v_2\\
\vdots\\
v_n\\
\end{bmatrix} \mid v_i \in \mathbb{F},i=1, \dots,n\}\]
对 \(\forall \alpha,\beta \in V, k \in
\mathbb{F}\)，
定义集合V上的加法运算：
\[\alpha + \beta=\begin{bmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\vdots\\
\alpha_n\\
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\beta_1\\
\beta_2\\
\vdots\\
\beta_n\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\alpha_1+\beta_1\\
\alpha_2+\beta_2\\
\vdots\\
\alpha_n+\beta_n\\
\end{bmatrix} \in V\]
定义集合V上的数乘运算：
\[\alpha \cdot k=\begin{bmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\vdots\\
\alpha_n\\
\end{bmatrix} \cdot k = \begin{bmatrix}
\alpha_1 k \\
\alpha_2 k \\
\vdots \\
\alpha_n k \\
\end{bmatrix} \in V\]
易证此加法与数乘满足通常的运算法则，此时称集合V为数域\(\mathbb{F}\)上的n维标准线性空间，记为\(\mathbb{F}^n\)。
一些常用数域上的n维标准线性空间：\(\mathbb{R}^n\)(实数域)、\(\mathbb{C}^n\)(复数域)等。
例2：欧几里得空间作为线性空间
令数域\(\mathbb{F}=\mathbb{R}\)，集合\(V=\{欧几里得空间中的全体有向线段\}\)。(当两条有向线段经过平移能够重叠时，则把这两条线段算做一条线段)定义集合V上的加法运算：向量运算的平行四边形法则。
定义集合V上的数乘运算：向量同向或反向伸缩。
Image 1 向量的平行四边形法则 Image 2 向量的伸缩
易证此加法与数乘满足通常的运算法则，则集合V是线性空间，说明欧几里得空间可以作为线性空间。
例3：函数空间作为线性空间
已知数域\(\mathbb{F}\)，集合\(V=\mathcal{F}(I,\mathbb{F}^n)\)。集合V为函数空间，V中的元素是以数域\(\mathbb{F}\)中的区间\(I\)为定义域，具有n个分量的n维向量值函数。例如：
\[f=\begin{bmatrix}
f_1(x) \\
f_2(x) \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
sin(x) \\
\frac{1}{2}x^3 \\
\end{bmatrix}, f \in \mathcal{F}([-1,1],\mathbb{R}^2) \]
对 \(\forall f,g \in
\mathcal{F}(I,\mathbb{F}^n),k \in \mathbb{F}\)，
定义集合V上的加法运算：
\[f+g = \begin{bmatrix}
f_1(x) \\
f_2(x) \\
\vdots \\
f_n(x) \\
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
g_1(x) \\
g_2(x) \\
\vdots \\
g_n(x) \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
f_1(x)+g_1(x) \\
f_2(x)+g_2(x) \\
\vdots \\
f_n(x)+g_n(x) \\
\end{bmatrix} \in \mathcal{F}(I,\mathbb{F}^n)\]
定义集合V上的数乘运算：
\[f \cdot k = \begin{bmatrix}
f_1(x) \\
f_2(x) \\
\vdots \\
f_n(x) \\
\end{bmatrix} \cdot k = \begin{bmatrix}
kf_1(x) \\
kf_2(x) \\
\vdots \\
kf_n(x) \\
\end{bmatrix} \in \mathcal{F}(I,\mathbb{F}^n)\]
易证此加法与数乘满足通常的运算法则，则集合V是线性空间，说明函数空间可以作为线性空间。