矩阵分析-2.向量组与线性相关性
向量组与线性相关性
向量组
向量组的定义
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，\(V\)中有限序列\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)称为\(V\)中的一个向量组，记为向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)。
向量组所拼成的抽象矩阵
若矩阵\(A\)中的每一列是由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)所构成的，则称矩阵\(A\)是由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)所拼成的抽象矩阵，记为：
\[A = \begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \\ \end{bmatrix}\]
向量组的线性相关性
线性相关与线性无关的定义
向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)称为线性相关，如果存在不全为零的\(P\)个数\(k_i \in \mathbb{F}, i=1,2,\dots,p\)，使得：
\[\begin{equation}\ \alpha_1k_1+\alpha_2k_2+\dots+\alpha_pk_p=0 \end{equation}\]
向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)称为线性无关，如果任意不全为零的\(P\)个数\(k_i \in \mathbb{F}, i=1,2,\dots,p\)，使得：
\[\begin{equation}\ \alpha_1k_1+\alpha_2k_2+\dots+\alpha_pk_p \ne 0 \end{equation}\]
- 注1 线性无关的另外一种表述：
向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)称为线性无关，若 \(\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+\dots+\alpha_pk_p = 0\) 当且仅当 \(k_i=0,i=1,\dots,p\) 时成立。
线性相关性的矩阵表述
设向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\}\)所拼成的抽象矩阵为\(A\)，向量\(x = \begin{bmatrix} x_1,x_2,\dots,x_p \end{bmatrix}^T\)，有齐次线性方程：
\[\begin{equation} Ax=\begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{bmatrix}=0 \end{equation}\]
向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性相关
\(\Leftrightarrow\)
齐次线性方程(3)有非零解。
向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性无关
\(\Leftrightarrow\)
齐次线性方程(3)只有零解。
向量组之间的线性表示
线性表示的定义
设有向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)，\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)以及向量\(\beta\)。
称向量\(\beta\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示，如果\(\exists k_1,k_2,\dots,k_p \in
\mathbb{F}\)，使得：
\[\begin{equation}
\beta = \alpha_1k_1+\alpha_2k_2+\dots+\alpha_pk_p
\end{equation}\]
称向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示，如果每个\(\beta_i\)均可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示。
线性表示的矩阵表述
设向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)所拼成的抽象矩阵为\(A\)，向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)所拼成的抽象矩阵为\(B\),有非齐次线性方程：
\[\begin{equation}
Ax=\begin{bmatrix}
\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_p
\end{bmatrix} = \beta
\end{equation}\]
\[\begin{equation} AX= \begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dotsb & x_{1q} \\ x_{21} & x_{22} & \dotsb & x_{2q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{p1} & x_{p2} & \dotsb & x_{pq} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q \end{bmatrix}=B \end{equation}\]
向量\(\beta\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示
\(\Leftrightarrow\)
非齐次线性方程(5)有解。
向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示
\(\Leftrightarrow\)
非齐次线性方程组(6)有解。
线性表示的传递性
设有三个向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)、\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)、\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)，其所拼成抽象矩阵分别为\(A、B、C\)。
若向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示，而向量组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)可由向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)线性表示，则向量组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示。
证明：
向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示
\(\Rightarrow\) 矩阵方程 \(AX_{p\times q}=B\) 有解
向量组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)可由向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q\}\)线性表示
\(\Rightarrow\) 矩阵方程 \(BY_{q\times t}=C\) 有解
\[\left\{ \begin{array}{lr} AX_{p\times q}=B \\ BY_{q \times t}=C \end{array} \right. \Rightarrow AXY=C \Rightarrow 矩阵方程AZ_{p \times t} = C 有解，Z_{p \times t}=XY\]
故向量组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)可由向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)线性表示。
向量组的极大线性无关组
极大线性无关组的定义
设向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)是向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)的子组，即
\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\} \subseteq
\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)。子组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)称为向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)的极大线性无关组，若其满足：
1. 子组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)线性无关。
2. 若向量组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)也是向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)的子组，且
\(s < t\)，则子组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)线性相关。
- 注：“极大性”的另一种说法：“生成性”。
若子组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)线性无关，且 \(\forall \alpha_i \in \{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)，\(\alpha_i\)都可由子组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)线性表示，则子组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)是向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)的极大线性无关组。
\[\color{green} 极大线性无关组 \Leftrightarrow 线性无关生成组\]
向量个数的唯一性
定理：
向量组的极大线性无关组所含向量的个数是唯一的。
证明：
设有向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)，向量组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)与\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)均是其极大线性无关组，
要证明 $ s=t $，可以利用反证法，假设 \(s
< t\)，
设 \(A =
\begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p
\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix} \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s
\end{bmatrix}\)，\(C =
\begin{bmatrix} v_1,v_2,\dots,v_t \end{bmatrix}\)，
\(\because\) 向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}\)可由其极大线性无关组\(\{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s\}\)、\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)线性表示，
\(\therefore\) 矩阵方程 \(BX=A, AY=C\)均有解，
\(\Rightarrow\) 矩阵方程 \(BZ=C\) 有解，其中\(Z_{s \times t}=XY\)，
$ s < t$ \(\Rightarrow\) \(rank(Z) < t\) \(\Rightarrow\) 矩阵方程\(ZW= \textbf{0}\)有无穷多解 \(\Rightarrow\) 矩阵方程\(ZW= \textbf{0}\)必有非零解，
设矩阵方程 \(ZW= \textbf{0}\)
的非零解为\(W\)，将矩阵方程 \(BZ=C\) 的两边同时乘以\(W\)，
有 \(B(ZW) = CW, \because
ZW=\textbf{0}\)， \(\therefore CW=
\textbf{0}\)，
与向量组\(\{v_1,v_2,\dots,v_t\}\)线性无关矛盾，
\(\Rightarrow\) \(s \nless t\)，同理可证 \(s \ngtr t\)，故有 \(s = t\)
向量组的秩
向量组的秩等于向量组的极大线性无关组所含向量的个数。