矩阵分析-4.线性子空间
线性子空间
线性子空间的定义
设\(V\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，\(W \in V\)是非空子集，若\(W\)有以下两个属性:
(1) 对加法封闭：\(\forall
\alpha,\beta \in W, \alpha+\beta \in W\).
(2) 对数乘封闭：\(\forall k
\in \mathbb{F}, \alpha \in W, \alpha k \in W\).
则称集合\(W\)是线性空间\(V\)的线性子空间.
注：线性子空间\(W\)本身按\(V\)中定义的加法与数乘也构成线性空间.
线性子空间的实例
例1 二维空间的线性子空间
\(\color{green}{结论:
二维空间的线性子空间是任意经过原点的直线.}\)
证明:
设\(V = \mathbb{R}^{2}\)，\(V\)表示二维平面.
二维平面中经过原点的某一直线：\(W = \{x
\vert \theta^{T} x=0, x \in V\}, \theta \in
\mathbb{R}^{2}\).
验证直线\(W\)是二维平面\(V\)的线性子空间：
(1) 对\(\forall x_1,x_2 \in W,
\theta^{T}(x_1+x_2)= \theta^{T}x_1+\theta^{T}x_2=0\),且\(x_1+x_2 \in V,\)
\(\Rightarrow x_1+x_2 \in
W\)，即\(W\)对加法封闭.
(2) 对\(\forall \beta \in \mathbb{R},
\forall x \in W, \theta^{T}(\beta
x)=\beta(\theta^{T}x)=0\)，且\(\beta x
\in V,\)
\(\Rightarrow \beta x \in
W\)，即\(W\)对数乘封闭.
综上所述：直线\(W\)是二维空间\(V\)的线性子空间.
注：二维空间中不经过原点的直线不是其线性子空间。
证明:
设\(V=\mathbb{R}^2\)，\(V\)表示二维平面.
二维平面中不经过原点的某一直线：\(W=\{x
\vert \theta^{T}x+b=0,b \neq 0,x \in V\}, \theta \in
\mathbb{R}^{2}.\)
验证直线\(W\)不是二维平面\(V\)的线性子空间：
(1) 对\(\forall x_1,x_2 \in W, x_1,x_2 \neq
0, \theta^{T}(x_1+x_2)+b = (\theta^{T}x_1+b)+\theta^{T}x_2=\theta^{T}x_2
\neq 0.\)
又\(\because x_1+x_2 \in V \Rightarrow
x_1+x_2 \notin W \Rightarrow\) 直线\(W\)不满足对加法封闭，故其不是二维空间\(V\)的线性子空间.
对于二维空间的线性子空间，我们也可以借助图像来直观理解：
从图中我们可以发现，经过原点的直线\(W_1\)上任意两个向量\(x_1,x_2\)的和仍位于直线\(W_1\)上，说明\(W_1\)对加法封闭，同时\(W_1\)上的向量伸缩后仍位于直线\(W_1\)上，说明\(W_1\)对数乘封闭。故经过原点的直线\(W_1\)是二维空间\(V\)的线性子空间.
不经过原点的直线\(W_2\)上的任意两个向量\(y_1,y_2\)，这两个向量的和\(y_3\)不位于直线\(W_2\)上，故直线\(W_2\)对加法不封闭，其不是二维空间\(V\)的线性子空间.
例2 向量组生成的线性子空间及线性子空间的生成组
设有向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p
\}\)，定义：
\[W = span\{
\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}
=\{\alpha_{1}c_{1}+\alpha_{2}c_{2}+\dots+\alpha_{p}c_{p} \vert c_{i} \in
\mathbb{F},i=1,2,\dots,p\} =\{向量组\alpha_i
的线性组合的全体\}\]
称\(W\)为向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p \}\)所生成的线性子空间,向量组\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p \}\)称为线性子空间的生成组.
例3 矩阵的核与象
设矩阵\(A \in \mathbb{F}^{m\times n}\)，定义集合\(\{x \vert x \in \mathbb{F}^{n},Ax=0 \}\)为矩阵\(A\)的核，记为\(ker A\)，集合\(\{ y \vert y \in \mathbb{F}^{m}, \exists x \in \mathbb{F}^{n}, y=Ax\}\)为矩阵\(A\)的象，记为\(im A\). \(ker A\)与\(im A\)分别是\(\mathbb{F}^n\)与\(\mathbb{F}^{m}\)的线性子空间.
证明:
设矩阵\(A \in \mathbb{F}^{m \times
n}\)，记矩阵\(A\)的核为集合\(ker A = \{x \vert x \in \mathbb{F}^{n},Ax=0
\}\)，
矩阵\(A\)的象为集合\(im A = \{ y \vert y \in \mathbb{F}^{m}, \exists x
\in \mathbb{F}^{n}, y=Ax\}\).
(1) 验证\(ker A\)是线性空间\(\mathbb{F}^{n}\)的线性子空间:
对 \(\forall x_1,x_2 \in ker
A\)，有\(Ax_1=Ax_2=0 \Rightarrow
A(x_1+x_2)=0\)，故有：
\(x_1+x_2 \in ker A\)，即\(ker A\)对加法封闭.
对\(\forall k \in \mathbb{F}, A(x_1 k) =
(Ax_1)k = 0\)，故有\(x_1 k \in ker
A\)，即\(ker
A\)对数乘封闭.
棕上所述，\(ker A\)是线性空间\(\mathbb{F}^{n}\)的线性子空间.
(2) 验证\(im A\)是线性空间\(\mathbb{F}^{m}\)的线性子空间:
对\(\forall y_1,y_2 \in im A, \exists
x_1,x_2 \in \mathbb{F}^n\)，使得\(y_1 =
Ax_1, y_2 = Ax_2\)，
\(\Rightarrow y_1+y_2 = Ax_1 + Ax_2 =
A(x_1+x_2)\)，令\(y_3=y_1+y_2,x_3 =
x_1+x_2\)，
\(\because y_1,y_2 \in
\mathbb{F}^{m}\)，且线性空间\(\mathbb{F}^{m}\)对加法封闭，故有\(y_3 \in \mathbb{F}^{m}\)，同理可得\(x_3 \in \mathbb{F}^{n}\)，
\(y_3 = Ax_3 \Rightarrow y_3 \in im
A\)，即\(im A\)对加法封闭.
对\(\forall k \in \mathbb{F}, y_1 k =
(Ax_1)k = A(x_1 k)\)，
\(\because x_1 \in
\mathbb{F}^{n}\)，且线性空间\(\mathbb{F}^{n}\)对数乘封闭, 故有\(x_1 k \in \mathbb{F}^{n}\),
则有\(y_1 k \in im A\)，即\(im A\)对数乘封闭.
综上所述，\(im A\)是线性空间\(\mathbb{F}^{m}\)的线性子空间.
注: \(Ax\)为矩阵\(A\)的列向量组\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \}\)以\(x\)为系数的线性组合. \(im A\)也就是向量组\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \}\)所张成的线性子空间.
线性子空间的交与和
设\(U,W\)是\(V\)的线性子空间，则有：
(1) \(U \cap W = \{v \vert v \in U, v \in
W\}\)，\(U \cap W\)也是\(V\)的线性子空间，称为\(U,W\)的交.
(2) \(U+W = span \{U,W\} = \{u+w \vert u \in
U, w \in W\}\)，\(U+W\)也是\(V\)的线性子空间，称为\(U,W\)的和.
证明:
设\(V\)是线性空间,\(U,W\)是\(V\)的线性子空间,
(1) 验证\(U \cap W\)是\(V\)的线性子空间
对\(\forall v_1,v_2 \in U \cap
W\)，有\(v_1,v_2 \in U, v_1,v_2 \in
W\)
\(\because U,W\)是\(V\)的线性子空间，故\(U,W\)对加法封闭 \(\Rightarrow v_1+v_2 \in U, v_1+v_2 \in W
\Rightarrow v_1+v_2 \in U \cap W\)
即\(U \cap W\)对加法封闭.
对\(\forall k \in \mathbb{F}, v_1 \in U \cap
W\)，\(U,W\)对数乘封闭，故有:
\(v_1k \in U, v_1k \in W \Rightarrow v_1k
\in U \cap W\)，即\(U \cap
W\)对数乘封闭.
(2) 验证\(U+W\)是\(V\)的线性子空间
对\(\forall v_1,v_2 \in U+W, \exists u_1,u_2
\in U, w_1,w_2 \in W\)，使得\(v_1 =
u_1+w_1,v_2 = u_2+w_2\)
\(v_1+v_2=u_1+w_1+u_2+w_2=(u_1+u_2)+(w_1+w_2)\)，
令\(v_3=v_1+v_2, u_3 = u_1+u_2, w_3 =
w_1+w_2 \Rightarrow v_3=u_3+w_3\)，由\(U,W\)对加法的封闭性可知：
\(u_3 \in U, w_3 \in W \Rightarrow v_3 \in
U+W\)，即\(U+W\)对加法封闭.
对\(\forall k \in \mathbb{F}, v_1 \in U+W,
v_1k = (u_1+w_1)k=u_1k+w_1k\),
\(\because U,W\)对数乘封闭，故有\(u_1k \in U, w_1k \in W \Rightarrow v_1 k \in
U+W\)，即\(U+W\)对数乘封闭.
综上所述，\(U \Cap w, U+W\)均为\(V\)的线性子空间.