矩阵分析-5.线性映射

线性映射

线性映射的定义

  设\(V_1,V_2\)是数域\(\mathbb{F}\)上的线性空间，有映射 \(\sigma: V_1 \rightarrow V_2\)，如果\(\sigma\)满足：
(1) 加法关系: 对\(\forall e_1,e_2 \in V_1, \sigma(e_1+e_2) = \sigma(e_1)+\sigma(e_2) \in V_2\).
(2) 数乘关系: d对\(\forall e \in V_1, k \in \mathbb{F}, \sigma(ek)=\sigma(e)k\)
则称映射\(\sigma\)是\(V_1\)到\(V_2\)的线性映射。特别地，若有\(V_1=V_2=V\)，则称映射\(\sigma\)为\(V\)上的线性变换。

注: 若线性映射\(\sigma: V_1 \rightarrow V_2\) 是可逆映射(一一映射)，则称\(\sigma\)为线性同构。

线性映射的实例

例1 线性与非线性映射

非线性映射的实例   设线性空间\(V_1,V_2=\mathbb{R}^2\)，有映射：

\[\mathcal{A}: \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ x_1x_2 \\ \end{bmatrix}\]

则映射\(\mathcal{A}\)为\(V_1\)到\(V_2\)的非线性映射。
证明:
  取\(e_1,e_2 \in V_1\)，其中:

\[e_1=e_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},e_1+e_2=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\]

\[\mathcal{A}(e_1+e_2)=\begin{bmatrix} 2+2 \\ 2 \times 2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ \end{bmatrix}\]

\[\mathcal{A}(e_1)+\mathcal{A}(e_1)=\begin{bmatrix} 1+1 \\ 1 \times 1 \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1+1 \\ 1 \times 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\]

  \(\because \mathcal{A}(e_1+e_2) \ne \mathcal{A}(e_1)+\mathcal{A}(e_1)\)，故映射\(\mathcal{A}\)不满足加法关系，其不是\(V_1\)到\(V_2\)上的线性映射。

线性映射的实例
  设线性空间\(V_1=\mathbb{R}^3,V_2=\mathbb{R}^2\)，有映射：

\[\mathcal{B}: \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x_1+x_2-x_3 \\ \frac{1}{2}x_1-3x_2 \end{bmatrix}\]

则线性映射\(\mathcal{B}\)为\(V_1\)到\(V_2\)上的线性映射。
证明:
  (1) 先验证映射\(\mathcal{B}\)满足线性映射的加法关系:
  设\(\forall \alpha,\beta \in V_1, \alpha = \begin{bmatrix} \alpha_1 ,\alpha_2,\alpha_3 \end{bmatrix}^T,\beta = \begin{bmatrix} \beta_1,\beta_2,\beta_3 \end{bmatrix}^T\)

\[\mathcal{B}(\alpha)=\begin{bmatrix} \alpha_1+\alpha_2-\alpha_3 \\ \frac{1}{2}\alpha_1-3\alpha_2 \\ \end{bmatrix},\mathcal{B}(\beta)=\begin{bmatrix} \beta_1+\beta_2-\beta_3 \\ \frac{1}{2}\beta_1-3\beta_2 \\ \end{bmatrix}\]

\[\mathcal{B}(\alpha)+\mathcal{B}(\beta)=\begin{bmatrix} \alpha_1+\beta_1+\alpha_2+\beta_2-(\alpha_3+\beta_3) \\ \frac{1}{2}(\alpha_1+\beta_1)-3(\alpha_2+\beta_2) \\ \end{bmatrix}\]

\[\alpha+\beta=\begin{bmatrix} \alpha_1+\beta_1 \\ \alpha_2+\beta_2 \\ \alpha_3+\beta_3 \\ \end{bmatrix},\mathcal{B}(\alpha+\beta)=\begin{bmatrix} \alpha_1+\beta_1+\alpha_2+\beta_2-(\alpha_3+\beta_3) \\ \frac{1}{2}(\alpha_1+\beta_1)-3(\alpha_2+\beta_2) \\ \end{bmatrix}\]

\[\Rightarrow \mathcal{B}(\alpha+\beta)=\mathcal{B}(\alpha)+\mathcal{B}(\beta)\]

  故映射\(\mathcal{B}\)满足线性映射的加法关系。
  (2) 再验证映射\(\mathcal{B}\)满足线性映射的数乘关系:
  设\(\forall \alpha \in V_1,k \in \mathbb{F},\alpha = \begin{bmatrix} \alpha_1 ,\alpha_2,\alpha_3 \\ \end{bmatrix}^T\),有:

\[\alpha k = \begin{bmatrix} \alpha_1 k \\ \alpha_2 k \\ \alpha_3 k \\ \end{bmatrix}, \mathcal{B}(\alpha k)=\begin{bmatrix} \alpha_1 k+\alpha_2 k-\alpha_3 k \\ \frac{1}{2}\alpha_1 k-3\alpha_2 k \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)k \\ (\frac{1}{2}\alpha_1-3\alpha_2) k \\ \end{bmatrix}\]

\[\mathcal{B}(\alpha)=\begin{bmatrix} \alpha_1+\alpha_2-\alpha_3 \\ \frac{1}{2}\alpha_1-3\alpha_2 \\ \end{bmatrix},\mathcal{B}(\alpha)k=\begin{bmatrix} (\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)k \\ (\frac{1}{2}\alpha_1-3\alpha_2) k \\ \end{bmatrix}\]

\[\Rightarrow \mathcal{B}(\alpha k)=\mathcal{B}(\alpha)k\]

  故映射\(\mathcal{B}\)满足线性映射的数乘关系。
  综上所述，映射\(\mathcal{B}\)为\(V_1\)到\(V_2\)上的线性映射。

例2 矩阵与标准线性空间之间的线性映射的等同性

  给定矩阵 \(A \in \mathbb{F}^{m \times n}, x \in \mathbb{F}^n\)，则矩阵\(A\)可以作为线性映射\(\sigma_{A}\)：

\[\begin{align*} \sigma_{A}: &\mathbb{F}^{n} \rightarrow \mathbb{F}^{m} \\ &x \mapsto y=Ax \end{align*}\]

  若我们已知有线性映射 \(\sigma: \mathbb{F}^{n} \rightarrow \mathbb{F}^{m}\)，如例1中的线性映射\(\mathcal{B}\)，能否求得相应的矩阵\(A\)?
解:
  记标准线性空间\(\mathbb{F}^n\)的标准基为：\(e_1,e_2,\dots,e_n\)，可以构造矩阵：

\[\sigma(\begin{bmatrix} e_1,e_2,\dots,e_n \\ \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} \sigma(e_1),\sigma(e_2),\dots,\sigma(e_n) \\ \end{bmatrix} \triangleq A \in \mathbb{F}^{n \times m}\]

  对\(\forall x \in \mathbb{F}^{n}\)，将\(x\)沿着标准基展开：

\[x = \begin{bmatrix} e_1,e_2,\dots,e_n \\ \end{bmatrix}x=e_1x_1+e_2x_2,\dots,e_nx_n\]

\[\begin{align*} \sigma(x)&=\sigma(e_1x_1+e_2x_2,\dots,e_nx_n)=\sigma(e_1)x_1+\sigma(e_2)x_2+\dots+\sigma(e_n)x_n \\ &= \begin{bmatrix} \sigma(e_1),\sigma(e_2),\dots,\sigma(e_n) \\ \end{bmatrix}x=Ax \end{align*}\]

  因此矩阵\(A\)与线性映射\(\sigma\)具有等同性.

线性映射的矩阵表示

定义

  设有标准线性空间\(V=\mathbb{F}^n,W=\mathbb{F}^m\)，给定线性映射：

\[\begin{align*} \sigma: &V \rightarrow W \\ & v \mapsto w \end{align*}\]

  选取\(V\)的基向量\(v_1,v_2,\dots,v_n\)，作为入口基，\(W\)的基向量\(w_1,w_2,\dots,w_m\)作为出口基，记\(V\)中第\(j\)个入口基向量\(v_j\)在\(W\)中的象\(\sigma(v_j)\)在出口基下的坐标表示为\(a_j = \begin{bmatrix} a_{1j},a_{2j},\dots,a_{mj} \\ \end{bmatrix}^T\)，即：

\[\sigma(v_j)=\begin{bmatrix} w_1,w_2,\dots,w_n \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{bmatrix}\]

  将所有入口基的象在出口基下的坐标拼成矩阵\(A\):

\[A=\begin{bmatrix} \sigma(v_1),\sigma(v_2),\dots,\sigma(v_n) \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\]

  则有：

\[\sigma(\begin{bmatrix} v_1,v_2,\dots,v_n \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} w_1,w_2,\dots,w_m \end{bmatrix}A\]

  则称矩阵\(A\)为线性映射\(\sigma\)在入口基\(v_i,i=1,\dots,n\)和出口基\(w_j,j=1,\dots,m\)下的矩阵表示。

注:

\[\color{green} \begin{bmatrix} 线性 \\ 映射 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 入口基 \\ 矩阵 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 出口基 \\ 矩阵 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 线性映射 \\ 矩阵表示 \\ \end{bmatrix}\]

定理(线性映射的坐标计算)

  设有\(n\)维线性空间\(V\)和\(m\)维线性空间\(W\)，\(v_1,v_2,\dots,v_n\)为\(V\)的一组基向量，\(w_1,w_2,\dots,w_m\)为\(W\)的一组基向量，映射\(\sigma\)为\(V\)到\(W\)上的线性映射，矩阵\(A\)为线性映射\(\sigma\)在入口基\(\{v_i \vert i=1,2,\dots,n\}\)与出口基\(\{w_i \vert i=1,2,\dots,m\}\)下的矩阵表示。
  给定\(\forall v \in V\)，其沿着基向量组展开的坐标为\(x\)，即：

\[v=\begin{bmatrix} v_1,v_2,\dots,v_n \\ \end{bmatrix}x=\begin{bmatrix} v_1,v_2,\dots,v_n \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \\ \end{bmatrix}\]

则经过线性映射\(\sigma\)后，\(\sigma(v) \in W\)在沿着基向量组展开的坐标为\(Ax\)，即：

\[\sigma(v) = \begin{bmatrix} w_1,w_2,\dots,w_m \\ \end{bmatrix}Ax\]

证明:
  由题意可知：

\[v=\begin{bmatrix} v_1,v_2,\dots,v_n \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \\ \end{bmatrix}=v_1x_1+v_2x_2+\dots+v_nx_n\]

  则有

\[\begin{align*} \sigma(v)&=\sigma(v_1x_1+v_2x_2+\dots+v_nx_n)=\sigma(v_1)x_1+\sigma(v_2)x_2+\dots+\sigma(v_n)x_n \\ &=\begin{bmatrix} \sigma(v_1),\sigma(v_2),\dots,\sigma(v_n) \\ \end{bmatrix}=(\begin{bmatrix} w_1,w_2,\dots,w_m \end{bmatrix}A)x \\ &=\begin{bmatrix} w_1,w_2,\dots,w_m \end{bmatrix}(Ax) \end{align*}\]

  故\(\sigma(v)\)沿着基向量组\(\{w_i \vert i=1,2,\dots,m\}\)展开后的坐标为\(Ax\).

结论：基向量组将抽象的线性空间映射为标准线性空间，在基向量组的表示下，原本抽象线性空间之间的线性映射可以被表示为具体的矩阵。

Image1: 线性映射的矩阵表示

线性映射矩阵表示的实例

例1 微分算子的矩阵表示

  设线性空间\(V=\mathbb{R}_{4}[x], W=\mathbb{R}_{3}[x]\)(\(\mathbb{R}_{n}[x]\)表示\(n\)维多项式函数空间)，微分算子\(\sigma\)为\(V\)到\(W\)上的线性映射，求\(\sigma\)在标准基向量组下的矩阵表示.

解:
  \(V\)的标准基向量组为：\(\{1,x,x^2,x^3\}\)(入口基)，\(W\)的标准基向量组为\(\{1,x,x^2\}\)，则有：

\[\begin{align*} \sigma(\begin{bmatrix} 1,x,x^2,x^3 \\ \end{bmatrix})&=\begin{bmatrix} \sigma(1),\sigma(x),\sigma(x^2),\sigma(x^3) \\ \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0,1,2x,3x^2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1,x,x^2 \\ \end{bmatrix}A \end{align*}\]

\[A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\]

  故矩阵\(A\)即为微分算子\(\sigma\)在\(V\)与\(W\)的标准基向量组下的矩阵表示.

应用:

  \(v = \frac{1}{2}x^3+5x \in V\)，将\(v\)沿着\(V\)的标准基向量组\(\{1,x,x^2,x^3\}\)展开得其坐标:

\[v=\frac{1}{2}x^3+5x=\begin{bmatrix} 1,x,x^2,x^3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\]

  则\(\sigma(v)\)在\(W\)的标准基向量组\(\{1,x,x^2\}\)下的坐标表示为:

\[A\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ \end{bmatrix}\]

  故对\(v\)求微分的结果为：

\[\sigma(v)=\begin{bmatrix} 1,x,x^2,x^3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ \end{bmatrix}=\frac{3}{2}x^2+5\]

例2 旋转变换的矩阵表示

  欧几里得空间中的某一物体绕固定轴旋转\(\theta\)，求该变换的矩阵表示。
解:
  设\(V=W\)为欧几里得空间，映射\(\sigma\)为旋转变换，易知\(\sigma\)为线性变换.   设欧几里得空间中的一组标准正交基向量为\(e_1,e_2,e_3\)，

\[e_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, e_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, e_3=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\]

  其中\(e_3\)为旋转变换所固定的轴，则\(e_1,e_2\)为与旋转轴所垂直的平面的一组正交基，可以\(e_1,e_2,e_3\)的方向为\(x,y,z\)轴建立坐标系. 向量组\(e_1,e_2,e_3\)既为入口基也为出口基.   旋转变换\(\sigma\)作用于基向量组\(e_1,e_2,e_3\)时，\(e_3\)并不会改变，\(e_1,e_2\)在其所在的平面上旋转\(\theta\)，旋转变换可用图2表示。

Image2: 旋转变换

  由几何知识可得：

\[\sigma(e_1)=\begin{bmatrix} cos\theta \\ sin\theta \\ 0 \\ \end{bmatrix},\sigma(e_2)=\begin{bmatrix} -sin\theta \\ cos\theta \\ 0 \\ \end{bmatrix},\sigma(e_3)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\]

  故有:

\[\begin{align*} \sigma(\begin{bmatrix} e_1,e_2,e_3 \\ \end{bmatrix})&=\begin{bmatrix} \sigma(e_1),\sigma(e_2),\sigma(e_3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e_1,e_2,e_3 \\ \end{bmatrix}A \end{align*}\]

\[A=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\]

  矩阵\(A\)即为欧几里得空间中旋转变换\(\sigma\)在标准正交基下的矩阵表示.

例3 镜面反射的矩阵表示

  欧几里得空间中的某一物体对固定平面进行镜面反射，求该变换的矩阵表示.
解:
  设\(V=M\)为欧几里得空间，映射\(\sigma\)为镜面反射，易知\(\sigma\)为线性变换.   设欧几里得空间中的一组标准正交基向量为\(e_1,e_2,e_3\)，

\[e_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, e_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, e_3=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\]

  其中，\(e_1,e_2\)所在的平面即为进行镜面反射所依赖的平面，\(e_3\)为垂直于该平面的一个基向量。可以\(e_1,e_2,e_3\)的方向为\(x,y,z\)轴建立坐标系. 向量组\(e_1,e_2,e_3\)既为入口基也为出口基.
  镜面反射\(\sigma\)作用于基向量组\(e_1,e_2,e_3\)时，\(e_1,e_2\)并不会改变，\(e_3\)变为相反方向，镜面反射可用图3表示。

Image3: 镜面反射

  由几何知识可知：

\[\sigma(e_1)=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\sigma(e_2)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\sigma(e_3)=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\]

  故有:

\[\begin{align*} \sigma(\begin{bmatrix} e_1,e_2,e_3 \\ \end{bmatrix})&=\begin{bmatrix} \sigma(e_1),\sigma(e_2),\sigma(e_3) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e_1,e_2,e_3 \\ \end{bmatrix}A \end{align*}\]

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\]

  矩阵\(A\)即为欧几里得空间中镜面反射\(\sigma\)在标准正交基下的矩阵表示.