矩阵分析-6.矩阵的等价与相似

矩阵的等价与相似

矩阵等价

定义

  设矩阵\(A,B \in \mathbb{F}^{m \times n}\)，若存在可逆矩阵 \(P \in \mathbb{F}^{n \times n}, Q \in \mathbb{F}^{m \times m}\)，使得 \(AP=QB\)，则称矩阵\(A,B\)等价。

[注]：由于\(AP=QB\)，且\(Q\)可逆，可得 \(Q^{-1}AP=B\). 因此矩阵\(B\)是由矩阵\(A\)进行有限次初等变换后得到的新矩阵.

几何意义

  令：

\[P = \begin{bmatrix} p_1,p_2,\dots,p_n \end{bmatrix}, p_{i} \in \mathbb{F}^{n}, i=1,2,\dots,n\]

\[Q = \begin{bmatrix} q_1,q_2,\dots,q_{m} \end{bmatrix}, q_j \in \mathbb{F}^{m},i=1,2,\dots,m\]

  \(\because AP=QB\)，故有：

\[A\begin{bmatrix} p_1,p_2,\dots,p_n \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} q_1,q_2,\dots,q_m \end{bmatrix}B\]

  矩阵\(A \in \mathbb{F}^{m \times n}\)，可视为线性映射：

\[\begin{split} \mathbb{F}^{n} & \rightarrow \mathbb{F}^{m} \\ x & \rightarrow y=Ax \end{split}\]

  入口基：\(\begin{bmatrix} p_1,p_2,\dots,p_n \end{bmatrix}\)，出口基：\(\begin{bmatrix} q_1,q_2,\dots,q_{m} \end{bmatrix}\)，由线性映射的概念可以得到矩阵等价的几何意义是：线性映射\(A\)在入口基\(P\)和出口基\(Q\)下的矩阵表示为\(B\).